Kirjoittanut David S. Richeson
Joustavien muotojen ominaisuuksien väliset suhteet ovat viehättäneet matemaatikoita vuosisatojen ajan.
Jos haluat aloittaa tappelun, kysy yksinkertaisesti ystäviltäsi ”onko Pluto planeetta?” tai ”onko hotdog voileipä?” tai ”kuinka monta reikää on pillissä?”. Ensimmäiseen kahteen kysymykseen vastataan yleensä kyllä tai ei, kolmanteen vastataan kaksi, yksi tai jopa nolla.
Nämä kysymykset riippuvat määritelmistä. Mikä tarkalleen onkaan planeetan määritelmä? Voileivän? Reiän? Me jätämme nämä kaksi ensimmäistä määritelmää kavereillesi. Kolmatta voidaan tarkastella matematiikan linssin läpi. Miten matemaatikot — erityisesti topologit, jotka tutkivat spatiaalisia suhteita — ajattelevat näistä rei’istä?
Arkipäivän kielessä ”reikä” tarkoittaa montaa eri asiaa. Yksi on ontelo, niinkuin maahan kaivettu kuoppa. Toinen on avauma jossain kappaleessa, kuin tunneli vuoren läpi tai selkäpuolelta kierteellä yhteen nidotun päiväkirjan sivuihin puhkomat reiät. Eräs toinen on täysin suljettu tila, kuten emmentaalijuustoon syntyvä ilmakupla. Mutta sen ymmärtämiseksi miksi — ja miksi matemaatikoita edes kiinnostaa reiät — me joudumme matkaamaan topologian historiaan, mikä alkaa siitä miten tämä ala eroaa sen sisaresta, geometriasta.
Geometriassa muodot kuten ympyrät ja monikulmiot ovat kiinteitä kappaleita; niitä analysoidaan pituuksien, kulmien ja pinta-alojen avulla. Mutta topologiassa muodot ovat joustavia, niinkuin kumista tehtyjä. Topologi on vapaa venyttämään ja taivuttelemaan muotoa. Jopa leikkaaminen ja liimaaminen on sallittua, niin kauan kunnes leikkaus liimataan tarkasti. Pallo ja kuutio ovat toisistaan eroteltavia kappaleita, mutta topologille niitä ei voi erottaa toisistaan. Jos haluat matemaattisen oikeutuksen sille, että T-paita ja housut eroavat toisistaan, sinun kannattaa kääntyä topologin puoleen, ei geometrikon. Selitys on: niissä on eri määrä reikiä.
Leonhard Euler käynnisti eri muotojen topologian tutkimukset 1700-luvulla. Sitä voisi luulla, että matemaatikot tiesivät jo melkein kaiken monitahokkaista. Mutta vuonna 1750, Euler keksi minun mielestä erään kaikkien aikojen suurimmista teorioista: jos monitahokkaalla on F monikulmaista tahkoa, E särmää ja V kärkeä, silloin V – E + F = 2. Esimerkiksi, jalkapallossa on 20 valkoista kuusikulmiota ja 12 mustaa viisikulmiota, jotka muodostavat pallomaisen 32 tahkon kappaleen, sekä 90 särmää ja 60 kärkeä. Ja niin 60 – 90 + 32 = 2. Tämä perustason havainto liittyy syvällisellä tavalla moniin matematiikan aloihin, ja kuitenkin se on tarpeeksi yksinkertainen, jotta se voitaisiin opettaa lastentarhan lapsille. Mutta se on kiinnostanut Eukleideksen ja Arkimedeen ja Keplerin kaltaisia geometrikoita vuosisatojen ajan, koska sen tulokset eivät riipu geometriasta. Se riippuu ainoastaan muodosta itsestään: se on topologiaa.
Euler implisiittisesti oletti hänen monitahokkaansa olevan konvekseja (kupera), mikä tarkoittaa, että kappaleen sisällä minkä tahansa kahden pisteen välinen suora tulee pysyä monitahokkaan sisällä. Piakkoin tutkijat löysivätkin poikkeuksia Eulerin kaavaan. Esimerkiksi sveitsiläinen matemaatikko Simon Lhuilier tajusi, että jos poraamme reiän monitahokkaaseen tehdäksemme siitä donitsimaisemman, sen topologia muuttuu ja silloin V – E + F = 0.
Kiinnostavaa kyllä, vaikka Euler ja Lhuilier kuvittelivat monitahokkaansa kiinteiksi, Eulerin kaava lasketaan käyttäen ainoastaan kahta nollaulotteista kärkeä, yksiulotteista särmää ja kaksiulotteista tahkoa. Joten Eulerin kaava (V – E + F) itse asiassa on johdettu kaksiulotteisesta tahokkaasta. Nykypäivänä kuvittelemme nämä muodot ontoiksi kuoriksi.
Lisäksi se mikä ainoastaan merkitsee on kappaleen topologia. Jos teemme monitahokkaan savesta, merkkaamme sen särmät terällä, ja möyhennämme sen palloksi, tahkot ja särmät kaareutuvat, mutta lukumäärä ei muutu. Joten mikä tahansa muoto, joka on topologisesti pallo, sen Eulerin luku on 2; donitsin kaltaiselle torukselle se on 0, tasaiselle levylle se on 1; ja niin edelleen. Jokaisella pinnalla on oma Eulerin lukunsa. Tämä topologinen ymmärrys Eulerin kaavasta — jossa pallot ovat kumimaisia eivätkä kiinteitä — esitettiin ensi kerran Johann Listingin tekstissä vuonna 1861. Vaikka tämä onkin nykyään suurelta osin unohdettu, Listing on myös tunnettu Möbiuksen nauhaan liittyvästä kirjoituksistaan neljä vuotta ennen August Möbiusta. Listing tunnetaan myös koko termin topologia keksijänä.
Samoihin aikoihin Bernhard Riemann tutki pintoja, jotka tulivat esiin hänen kompleksilukujen tutkimuksissaan. Hän huomasi, että yksi tapa laskea reikiä oli tarkastella miten monta kertaa kappale voitaisiin leikata ilman, että se leikataan kahteen eri palaseen. Rajatulle pinnalle, kuten vaikka pillille joka on avoin kahdesta päästä, jokainen leikkaus tulee alkaa ja päättyä reunaan. Joten Riemannin mukaan, koska pilli voidaan leikata vain kerran — päästä päähän — sillä on tarkalleen yksi reikä. Jos pinnalla ei ole rajaa, niinkuin toruksella, ensimmäinen leikkaus tulee alkaa ja päättyä samaan pisteeseen. Ontto torus voidaan leikata kahdella tavalla — yhden kerran putkesta, ja toisen kerran siitä syntyvästä sylinteristä — joten tämän määritelmän mukaan sillä on kaksi reikää.
Henri Poincaré oli seuraava, ja hän suuresti laajensi topologian tutkimusalaa julkaisemalla uraauurtavan 123-sivuisen artikkelinsa “Analysis Situs” vuonna 1895. Siinä ja sen viidessä jatko-osassa hän istutti useita topologisia siemeniä, jotka kasvoivat, kukkivat ja kantoivat hedelmää vuosikymmeniä sen jälkeen. Huomattava käsite tässä on homologian käsite, jonka Poincaré yleisti Riemannin korkeampien ulottuvuuksien ideoihin. Homologian avulla Poincaré tavoitteli kuvaavansa kaikkea Riemannin yksiulotteisesta ympyräreiästä pillissä kaksiulotteiseen onteloon kuten emmentaalissa, ja siitä vieläkin korkeampiin ulottuvuuksiin. Näiden reikien määrä — yksi jokaiselle ulottuvuudelle — tunnetaan sittemmin Betti-lukujen nimellä Enrico Bettin kunniaksi, Riemannin ystävän joka oli tehnyt samanlaista tutkimusta.
Moderni homologian määritelmä on varsin syvällinen, mutta se karkeasti tarkoittaa jokaisen muodon liittämistä tiettyyn matemaattiseen objektiin. Tästä objektista voimme kerätä yksinkertaisempaa informaatiota muodosta, niinkuin vaikka sen Bettin luvun tai Eulerin luvun.
Jotta saisimme käsityksen siitä mitä homologia ja Bettin luvut ovat, keskittykääme ensimmäiseen ulottuvuuteen. Aloitamme tarkastelemalla silmukoita pinnalla. Säännöt ovat yksinkertaiset: Silmukat voivat liukua pinnalla, ja jopa ylittää toisensa, mutta ne eivät saa poistua pinnalta. Joillain pinnoilla, kuten ympyrämuotoinen levy tai pallopinta, mikä tahansa silmukka voi kutistua yksittäiseksi pisteeksi. Sellaisilla pinnoilla on triviaali homologia. Mutta toisilla pinnoilla, kuten pilli tai torus, on silmukoita, jotka kiertyvät reikiensä ympäri. Näiden homologia on epätriviaali.
Torus näyttää meille miten visualisoida Bettin lukuja. Me voimme tuottaa äärettömän monia epätriviaaleja silmukoita yhdestä, ja ne voivat kiertyä monta kertaa ympäri ennen kuin ne tulevat takaisin lähtöpisteeseensä. Mutta sen sijaan että kehittelisimme kaoottisen sotkun, nämä silmukat tuottavat elegantin matemaattisen rakenteen. Kutsutaan silmukkaa, joka menee keskusreiän läpi ja kerran putken ympäri nimellä “a.” Tämä on nyt meidän perustamme lisäsilmukoille. Koska silmukka voi mennä putken ympäri kerran, kaksi tai kuinka monta kertaa tahansa, ja kiertosuunnalla on väliä, me voime kutsua näitä silmukoita nimillä kuten a, 2a, –a, ja niin edelleen. Jokainen silmukka ei ole a:n monikerta, kuitenkin sellainen silmukka, joka kiertää keskusreiän ympäri putken kehää pitkin, nimitämme nimellä “b.” Tässä kohtaa ei ole enää muita uniikkeja tapoja kulkea pitkin pintaa: mikä tahansa silmukka toruksen pinnalla voidaan muuntaa silmukoiksi a ja b kertomalla niitä joillain kokonaisluvuilla. Se, että on olemassa joitain yksiulotteisia silmukoita, joista kaikki muut voidaan konstruoida, tarkoittaa että toruksen Bettin luku yhdessä dimensiossa on 2, joka on Riemannin leikkausten lukumäärä.
Jos silmukka c on ekvivalentti silmukoiden a ja b yhdistelmän kanssa, kirjoitamme c = a + b. Tämä lauseke ei ole pelkästään merkintätapa. Tämä lasku on mahdollista tehdä — silmukoiden summaaminen ja erotus. Matematiikan kielellä joukko, joka mahdollistaa summaamisen ja erotuksen, on nimeltään ryhmä. Joten esimerkiksi toruksen yksiulotteinen homologiaryhmä koostuu ilmaisuista kuten 7a + 5b, 2a – 3b ja niin edelleen.
Ryhmän homologiarakenteen löysi 1920-luvulla Emmy Noether, ryhmien ja muiden algebrallisten rakenteiden tutkimuksen pioneeri. Noetherin havainnon myötä matemaatikot osaavat nyt ottaa käyttöön algebran voiman, rakenteen ja lauseet topologian tutkimukseen. Esimerkiksi me voimme sanoa matemaattisella varmuudella, että pilli, T-paita ja housut topologisesti eroavat toisistaan, koska niiden homologiaryhmät ovat erit. Niillä on eri määrä reikiä.
Miten topologit laskevat reikiä? Bettin lukujen avulla. Nollas Betti-luku b0 on erikoistapaus. Se yksinkertaisesti laskee objektien lukumäärän. Yksittäiselle yhtenäiselle muodolle b0 = 1. Niinkuin me juuri näimme, ensimmäinen Bettin luku b1 on ympyrämäisten reikien lukumäärä muodossa — kuten sylinterimäisen pillin reikä ja toruksen kaksi ympyrämäistä suuntaa. Ja Poincaré näytti meille miten homologian saa lasketuksi, ja näin siihen liittyvät Bettin luvut, myös korkeammissa ulottuvuuksissa: toinen Betti-luku b2 on onteloiden lukumäärä — kuten pallon, toruksen tai emmentaalijuuston sisässä olevat reiät. Yleisesti bn kertoo n-ulotteisten reikien lukumäärän.
Poincarén homologia sulkee ympyrän ja tuo meidät takaisin Euleriin. Aivan kuten Eulerin luku voidaan laskea kappaleelle särmien, kärkien ja tahkojen avulla, niin on mahdollista laskea se myös Bettin lukujen avulla: b0 – b1 + b2. Torus esimerkiksi on yhtenäinen, joten b0 = 1; sillä on b1 = 2, kuten olemme nähneet; ja koska sillä on yksi sisäinen ontelo, b2 = 1. Niinkuin Lhuilier huomasi, toruksen Eulerin luku on 1 – 2 + 1 = 0.
Vaikka matemaatikoilla onkin ollut perustason ymmärrys homologiasta jo melkein vuosisadan ajan, algebrallinen topologia jatkaa aktiivista tutkimusta aiheesta nivoen yhteen algebran ja topologian. Tutkijat ovat myös haarautuneet muihin suuntiin, kehitellen teoriaa ja algoritmeja, joita tarvitaan eri digitaalisesti esitettyjen muotojen homologian laskemiseen, rakentaen työkaluja joilla identifioida suurten datajoukkojen allaoleva muoto (jotka usein ovat korkeampiulotteisemmissa avaruuksissa), ja niin edelleen.
Toiset tutkijat ovat soveltaneet näitä teoreettisia työkaluja reaalimaailmaan. Kuvittele esimerkiksi sirpaleinen kokoelma pieniä, halpoja antureita, jotka havaitsevat jotain — liikkeen, tulipalon, kaasupäästön — jonkin kiinteän toimintasäteen sisällä. Anturit eivät tiedä sijaintiaan, mutta ne tietävät mitkä toiset anturit ovat lähellä. Vuonna 2007 Vin de Silva ja Robert Ghrist osoittivat miten käyttää homologiaa havaitsemaan reikiä anturien peittoalueessa, perustuen tähän karkeaan informaatioon. Tuoreemmassa tutkimuspaperissa Michelle Feng ja Mason Porter käyttivät uutta pysyvän homologian tekniikkaa havaitsemaan poliittisia saarekkeita — maantieteellisiä reikiä vaaliehdokkaan tukijoukoissa, jotka antavat tukensa vastaehdokkaalle — Kaliforniassa vuoden 2016 presidentinvaalien aikaan.
Niinkuin usean puhtaan matematiikan osa-alueen kanssa, joka on saanut alkunsa pelkkänä teoreettisena pohdiskeluna, topologia on osoittanut käyttökelpoisuutensa reaalimaailmassa, eikä ole pelkästään tyytynyt vastaamaan siihen miten monta reikää pillissä on.
Artikkelin julkaissut Quanta Magazine
luentomoniste suomeksi:
