Avainsana-arkisto: topologia

Tiede

Teleskooppikonjektuuri

Kommentoi

Teleskooppikonjektuuri antoi matemaatikoille otteen siitä, miten palloja voi yhdistää toisiinsa. Nyt kun se on osoitettu vääräksi, muotojen universumi on räjähtänyt.

Kesäkuun alussa pöhinä kasvoi, kun matemaatikot laskeutuivat Lontoon Heathrow’n lentokentälle. Heidän määränpäänsä oli Oxfordin yliopisto ja konferenssi, joka järjestettiin Michael Hopkinsin 65-vuotispäivän kunniaksi. Hopkins on Harvardin yliopiston matemaatikko, joka oli toiminut monien osallistujien mentorina.

Hopkins teki itseään tunnetuksi 1980-luvun lopulla työskennellessään seitsemän konjektuurin parissa, jotka Doug Ravenel Rochesterin yliopistosta oli muotoillut kymmenen vuotta aiemmin. Ne liittyivät tekniikoihin, joilla määritetään, milloin kaksi muotoa tai avaruutta, jotka saattavat näyttää erilaisilta, ovatkin todellisuudessa samoja. Hopkins ja hänen työtoverinsa todistivat kaikki Ravenelin konjektuurit yhtä lukuun ottamatta, ongelmaa, jolla on vihjaileva mutta salaperäinen nimi, teleskooppikonjektuuri.

Samuel Velasco/Quanta Magazine
Samuel Velasco/Quanta Magazine

Tuolloin Hopkins jätti Ravenelin otaksumat rauhaan. Vuosikymmeniä sen jälkeen teleskooppikonjektuurin ratkaiseminen tuntui lähes mahdottomalta.

”Et voisi koskea tuollaiseen lauseeseen”, Hopkins sanoi.

Mutta kun matemaatikot saapuivat Lontooseen, alkoi liikkua huhuja, että se oli tehty – neljän Massachusetts Institute of Technologyyn sidoksissa olevan matemaatikon ryhmän toimesta, joista kolmea oli neuvonut Hopkins jatko-opiskeluaikana. Neljästä nuorimman, Ishan Levy -nimisen jatko-opiskelijan, oli määrä pitää puhe tiistaina, konferenssin toisena päivänä, jolloin näytti siltä, ​​että todistus saatettaisiin julkistaa.

”Olin kuullut huhuja, että tämä oli tulossa, enkä tiennyt tarkalleen, mitä odottaa”, sanoi konferenssiin osallistunut matemaatikko Vesna Stojanoska Illinoisin yliopistosta Urbana-Champaignista.

Pian kävi selväksi, että huhut pitivät paikkansa. Tiistaista alkaen ja seuraavien kolmen päivän aikana Levy ja hänen kanssakirjoittajansa – Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank – selittivät noin 200 matemaatikon joukolle, kuinka he olivat todistaneet teleskooppikonjektuurin vääräksi, tehden siitä ainoan Ravenelin alkuperäisistä otaksumista, joka ei pitänyt paikkaansa.

Johdanto

Teleskooppikonjektuurin kumoamisella on laaja-alaisia ​​seurauksia, mutta yksi yksinkertaisimmista ja syvällisimmistä on tämä: Se tarkoittaa, että hyvin korkeissa ulottuvuuksissa (ajattele 100-ulotteista palloa) eri muotoinen maailmankaikkeus on paljon monimutkaisempi kuin matemaatikot odottivat.

Kuvausten kartoitus

Muotojen eli topologisten avaruuksien luokittelemiseksi matemaatikot erottavat toisistaan ​​merkitykselliset ja merkityksettömät erot. Homotopiateoria on näkökulma, josta nämä erottelut voidaan tehdä. Se pitää palloa ja munaa pohjimmiltaan samana topologisena avaruutena, koska niitä voi taivuttaa ja venyttää toisiinsa nähden repimättä kumpaakaan. Samalla tavalla homotopiateoria pitää palloa ja putkea perustavanlaatuisesti erilaisina, koska palloon on tehtävä reikä, jotta se muotoutuu putkeksi.

Homotopia on hyödyllinen topologisten avaruuksien luokittelussa – se luo kaavion kaikista mahdollisista muodoista. Se on tärkeää myös ymmärrettäessä jotain muuta, mistä matemaatikot ovat kiinnostuneita: avaruuksien välisiä kuvauksia. Jos sinulla on kaksi topologista avaruutta, yksi tapa tutkia niiden ominaisuuksia on etsiä funktioita, jotka muuntavat eli kuvaavat toisen avaruuden pisteet toisen avaruuden pisteisiin – syötä piste avaruudesta A, saat pisteen avaruudesta B ulostuloksi ja tee sama kaikille A:n pisteille.

Nähdäksesi, miten nämä kuvaukset toimivat ja miksi ne valaisevat kyseisten avaruuksien ominaisuuksia, aloita ympyrästä. Kuvaa se nyt kaksiulotteiselle pallolle, joka on pallon pinta. Tähän on äärettömän monta tapaa. Jos kuvittelet pallon Maan pintana, voit sijoittaa ympyräsi esimerkiksi mille tahansa leveysasteelle. Homotopiateorian näkökulmasta ne ovat kaikki ekvivalentteja eli homotooppisia, koska ne kaikki voivat kutistua pohjois- tai etelänavan pisteeksi.

Seuraavaksi kuvaa ympyrä putken (yksireikäisen toruksen) kaksiulotteiselle pinnalle. Jälleen kerran, tähän on äärettömän monta tapaa, ja useimmat ovat homotopisia. Mutta eivät kaikki. Voit sijoittaa ympyrän vaakasuoraan tai pystysuoraan toruksen ympärille, eikä kumpaakaan voida muuttaa tasaisesti toiseksi. Nämä ovat kaksi tapaa (useasta eri tavasta) kuvata ympyrä torukselle, kun taas pallolle on vain yksi tapa kuvata se, mikä heijastaa näiden kahden tilan välistä perustavanlaatuista eroa: Toruksessa on yksi reikä, kun taas pallossa ei ole yhtään.

On helppo laskea, monellako tavalla voimme kuvata ympyrästä kaksiulotteiseen palloon eli torukseen. Ne ovat tuttuja avaruuksia, jotka on helppo visualisoida. Mutta kuvausten laskeminen on paljon vaikeampaa, kun kyseessä ovat korkeamman ulottuvuuden avaruudet.

Ulottuvuuksien erot

Jos kahdella pallolla on sama ulottuvuus, niiden välillä on aina äärettömän monta kuvausta. Ja jos kuvauksen lähtöavaruus on matalampi kuin kuvauksen kohdeavaruus (kuten esimerkissämme yksiulotteisesta ympyrästä, joka on kuvattu kaksiulotteiselle pallolle), kuvauksia on aina vain yksi.

Osittain tästä syystä kuvausten laskeminen on mielenkiintoisinta silloin, kun kuvattavalla lähtöavaruudella on korkeampi ulottuvuus kuin kuvauksen kohdeavaruudella, kuten silloin, kun kuvaat seitsemänulotteisen pallon kolmiulotteiselle pallolle. Tällaisissa tapauksissa kuvausten määrä on aina äärellinen.

“Pallojen väliset kuvaukset ovat yleensä mielenkiintoisempia, kun lähteellä on suurempi ulottuvuus,” Hahn sanoo.

Lisäksi kuvausten lukumäärä riippuu vain ulottuvuuksien lukumäärän erosta (kun ulottuvuudet kasvavat riittävän suuriksi eroon nähden). Toisin sanoen 73-ulotteisesta pallosta 53-ulotteiseen palloon ulottuvien kuvausten lukumäärä on sama kuin 225-ulotteisesta pallosta 205-ulotteiseen palloon ulottuvien kuvausten lukumäärä, koska molemmissa tapauksissa ulottuvuuksien ero on 20.

Matemaatikot haluaisivat tietää minkä tahansa ulottuvuuseron omaavien avaruuksien välisten kuvausten lukumäärän. He ovat onnistuneet laskemaan kuvausten lukumäärän lähes kaikille ulottuvuuseroille aina 100:aan asti: Pallojen välillä on 24 kuvausta, kun ero on 20, ja 3 144 960, kun se on 23.

Matemaatikot Ishan Levy, Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank (vasemmalta oikealle) havaitsivat, että moniulotteisten pallojen maailma monimutkaistuu hyvin nopeasti. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot (vasemmalla); Jim Hoyer/UCPH; Christopher Harting; Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot
Matemaatikot Ishan Levy, Robert Burklund, Jeremy Hahn ja Tomer Schlank (vasemmalta oikealle) havaitsivat, että moniulotteisten pallojen maailma monimutkaistuu hyvin nopeasti. Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot (vasemmalla); Jim Hoyer/UCPH; Christopher Harting; Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfachin arkistot

Mutta kuvausten lukumäärän laskeminen mille tahansa yli 100:n erolle kuluttaa nykyaikaisen laskentatehon loppuun. Ja samaan aikaan matemaatikot eivät ole havainneet tarpeeksi säännönmukaisuuksia kuvausten lukumäärässä ekstrapoloidakseen edelleen. Heidän tavoitteenaan on täyttää taulukko, joka määrittää kuvausten lukumäärän mille tahansa ulottuvuuserolle, mutta tämä tavoite tuntuu hyvin kaukaiselta.

”Tämä ei ole kysymys, johon odotan täydellistä ratkaisua lastenlasteni elinaikana”, sanoi 76-vuotias Ravenel.

Teleskooppikonjektuuri tekee ennusteen siitä, miten kuvausten lukumäärä kasvaa ulottuvuuseron kasvaessa. Käytännössä se ennustaa, että lukumäärä kasvaa hitaasti. Jos se olisi pitänyt paikkansa, se olisi helpottanut taulukon täyttämistä hieman.

Epäilyksestä epäuskoon

Teleskooppikonjektuuri sai nimensä epätodennäköisellä tavalla.

Se alkoi siitä, että erittäin korkeissa ulottuvuuksissa alemmissa ulottuvuuksissa muodostettu geometrinen intuitio usein pettää, ja pallojen välisten kuvausten laskeminen on vaikeaa. Mutta muotoillessaan olettamustaan ​​Ravenel ymmärsi, ettei se ole välttämätöntä. Pallojen välisten kuvausten laskemisen sijaan voidaan tehdä helpompi sijaislaskenta pallojen ja teleskoopeiksi kutsuttujen kohteiden välisistä kuvauksista.

Teleskoopit koostuvat sarjasta kopioita suljetusta, korkeamman ulottuvuuden käyrästä, joista jokainen on pienennetty versio edellisestä käyrästä. Käyräsarja muistuttaa todellisen kokoontaittuvan teleskoopin toisiinsa kytkeytyviä putkia. ”Niin oudolta kuin tämä teleskooppi kuulostaakin kuvailtaessa, se on itse asiassa helpompi asia käsitellä kuin itse pallo”, Ravenel sanoi.

Mutta silti pallot voivat kuvautua teleskoopeille monella eri tavalla, ja haasteena on tietää, milloin nämä kuvaukset ovat todella erilaisia.

Sen määrittämiseksi, ovatko kaksi avaruutta homotopisia, vaaditaan matemaattinen testi, joka tunnetaan invarianttina. Se on avaruuksien ominaisuuksiin perustuva laskutoimitus. Jos laskutoimitus tuottaa eri arvon kullekin avaruudelle, tiedät niiden olevan ainutlaatuisia homotopian näkökulmasta.

Invariantteja on monenlaisia, ja jotkut pystyvät havaitsemaan eroja, joille toiset invariantit ovat sokeita. Teleskooppikonjektuuri ennustaa, että Moravan E-teoriaksi kutsuttu invariantti (ja sen symmetriat) pystyy erottamaan täydellisesti kaikki pallojen ja teleskooppien väliset kuvaukset homotopiaan asti – toisin sanoen, jos Moravan E-teoria sanoo, että kuvaukset ovat erillisiä, ne ovat erillisiä, ja jos se sanoo, että ne ovat samoja, ne ovat samoja.

Mutta vuoteen 1989 mennessä Ravenel oli alkanut epäillä sen totuutta. Hänen skeptisyytensä kumpusi hänen tekemistään laskelmista, jotka eivät näyttäneet olevan yhdenmukaisia ​​konjektuurin kanssa. Mutta vasta saman vuoden lokakuussa, kun valtava maanjäristys iski Bay Areaan hänen ollessaan Berkeleyssä, nämä epäilykset koodautuivat täysimittaiseksi epäuskoksi.

“Tulin tähän johtopäätökseen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten ajattelen mielelläni, että jotain tapahtui, mikä sai minut epäilemään, ettei se pitänyt paikkaansa”, sanoi Doug Ravenel. Matemaattisten tutkimuslaitosten arkistot Oberwolfachissa.
“Tulin tähän johtopäätökseen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten ajattelen mielelläni, että jotain tapahtui, mikä sai minut epäilemään, ettei se pitänyt paikkaansa”, sanoi Doug Ravenel. Matemaattisten tutkimuslaitosten arkistot Oberwolfachissa.

“Tulin tähän johtopäätökseen päivän tai kahden sisällä maanjäristyksestä, joten ajattelen mielelläni, että jotain tapahtui, mikä sai minut epäilemään, ettei se pitänyt paikkaansa.,” Ravenel sanoo.

Teleskooppikonjektuurin kumoaminen edellyttäisi tehokkaamman invariantin löytämistä, joka kykenisi näkemään asioita, joita Moravan E-teoria ei pysty näkemään. Vuosikymmenten ajan tällaista invarianttia ei näyttänyt olevan saatavilla, mikä asetti oletuksen täysin saavuttamattomiin. Viime vuosien edistys kuitenkin muutti tilanteen – ja Burklund, Hahn, Levy ja Schlank hyödynsivät sitä.

Räjähtävän eksoottinen

Heidän todistuksensa perustuu työkalujoukkoon, jota kutsutaan algebralliseksi K-teoriaksi. Teorian perusti Alexander Grothendieck 1950-luvulla, ja se on kehittynyt nopeasti viimeisen vuosikymmenen aikana. Sillä on sovelluksia matematiikassa, mukaan lukien geometriassa, jossa sillä voidaan tehostaa invariantin toimintaa.

Neljä kirjoittajaa käyttävät algebrallista K-teoriaa apuvälineenä: he syöttävät Moravan E-teorian, ja heidän tuloksensa on uusi invariantti, jota he kutsuvat Moravan E-teorian kiintopisteiden algebralliseksi K-teoriaksi. Sitten he soveltavat tätä uutta invarianttia pallojen ja teleskooppien välisiin kuvauksiin ja todistavat, että se voi nähdä kuvauksia, joita Moravan E-teoria ei pysty näkemään.

Eikä kyse ole vain siitä, että tämä uusi invariantti näkee muutaman kuvauksen enemmän. Se näkee paljon enemmän, jopa äärettömän paljon enemmän. Niin paljon enemmän, että on sanottava, että Moravan E-teoria oli vasta raapaissut pintaa tunnistaessaan kuvauksia palloista teleskooppeihin.

Äärettömän paljon kuvauksia palloista teleskooppeihin tarkoittaa äärettömän paljon enemmän kuvauksia pallojen välillä. Tällaisten kuvausten määrä on rajallinen mille tahansa ulottuvuuserolle, mutta uusi todistus osoittaa, että määrä kasvaa nopeasti ja vääjäämättä.

Se, että kuvauksia on niin paljon, viittaa levottomaan geometriseen todellisuuteen: palloja on niin paljon.

Vuonna 1956 John Milnor tunnisti ensimmäiset esimerkit niin sanotuista ”eksoottisista” palloista. Nämä ovat tiloja, jotka voidaan homotopian näkökulmasta muuttaa varsinaiseksi palloksi, mutta jotka eroavat pallosta tietyssä tarkassa mielessä. Eksoottisia palloja ei ole lainkaan olemassa ulottuvuuksissa yksi, kaksi tai kolme, eikä kukaan ole löytänyt niistä esimerkkejä ulottuvuuden seitsemän alapuolella – ulottuvuudessa, josta Milnor ne ensimmäisen kerran löysi. Mutta ulottuvuuden kasvaessa eksoottisten pallojen määrä räjähtää. Ulottuvuudessa 15 niitä on 16 256 ja ulottuvuudessa 19 523 264.

Ja silti, niin valtavia kuin nuo luvut ovatkin, teleskooppikonjektuurin kumoaminen tarkoittaa, että niitä on paljon, paljon enemmän. Kumoaminen tarkoittaa, että pallojen välisiä kuvauksia on enemmän kuin Ravenelin otaksumaa esittäessä odotettiin, ja ainoa tapa saada enemmän kuvauksia on, että niiden välillä on enemmän erilaisia ​​palloja, joiden välillä voi kuvata.

Matematiikassa ja luonnontieteissä on erityyppisiä edistysaskeleita. Yksi laji tuo järjestystä kaaokseen. Mutta toinen pahentaa kaaosta hälventämällä toiveikkaita oletuksia, jotka eivät pitäneet paikkaansa. Teleskooppikonjektuurin kumoaminen on samanlaista. Se syventää geometrian monimutkaisuutta ja lisää todennäköisyyttä, että useita lastenlasten sukupolvia tulee ja menee ennen kuin kukaan täysin ymmärtää pallojen välisiä kuvauksia.

”Jokainen merkittävä edistysaskel aiheessa näyttää kertovan meille, että vastaus on paljon monimutkaisempi kuin aiemmin luulimme”, Ravenel sanoi.

 

Artikkelin julkaissut Quanta Magazine

Tiede

Johdatus topologiaan

Kommentoi

Kirjoittanut David S. Richeson

Joustavien muotojen ominaisuuksien väliset suhteet ovat viehättäneet matemaatikoita vuosisatojen ajan.

Jos haluat aloittaa tappelun, kysy yksinkertaisesti ystäviltäsi ”onko Pluto planeetta?” tai ”onko hotdog voileipä?” tai ”kuinka monta reikää on pillissä?”. Ensimmäiseen kahteen kysymykseen vastataan yleensä kyllä tai ei, kolmanteen vastataan kaksi, yksi tai jopa nolla.

Nämä kysymykset riippuvat määritelmistä. Mikä tarkalleen onkaan planeetan määritelmä? Voileivän? Reiän? Me jätämme nämä kaksi ensimmäistä määritelmää kavereillesi. Kolmatta voidaan tarkastella matematiikan linssin läpi. Miten matemaatikot — erityisesti topologit, jotka tutkivat spatiaalisia suhteita — ajattelevat näistä rei’istä?

Illustration showing a human figure sitting on a large straw, gazing at different topological figures.

Arkipäivän kielessä ”reikä” tarkoittaa montaa eri asiaa. Yksi on ontelo, niinkuin maahan kaivettu kuoppa. Toinen on avauma jossain kappaleessa, kuin tunneli vuoren läpi tai selkäpuolelta kierteellä yhteen nidotun päiväkirjan sivuihin puhkomat reiät. Eräs toinen on täysin suljettu tila, kuten emmentaalijuustoon syntyvä ilmakupla. Mutta sen ymmärtämiseksi miksi — ja miksi matemaatikoita edes kiinnostaa reiät — me joudumme matkaamaan topologian historiaan, mikä alkaa siitä miten tämä ala eroaa sen sisaresta, geometriasta.

Geometriassa muodot kuten ympyrät ja monikulmiot ovat kiinteitä kappaleita; niitä analysoidaan pituuksien, kulmien ja pinta-alojen avulla. Mutta topologiassa muodot ovat joustavia, niinkuin kumista tehtyjä. Topologi on vapaa venyttämään ja taivuttelemaan muotoa. Jopa leikkaaminen ja liimaaminen on sallittua, niin kauan kunnes leikkaus liimataan tarkasti. Pallo ja kuutio ovat toisistaan eroteltavia kappaleita, mutta topologille niitä ei voi erottaa toisistaan. Jos haluat matemaattisen oikeutuksen sille, että T-paita ja housut eroavat toisistaan, sinun kannattaa kääntyä topologin puoleen, ei geometrikon. Selitys on: niissä on eri määrä reikiä.

Leonhard Euler käynnisti eri muotojen topologian tutkimukset 1700-luvulla. Sitä voisi luulla, että matemaatikot tiesivät jo melkein kaiken monitahokkaista. Mutta vuonna 1750, Euler keksi minun mielestä erään kaikkien aikojen suurimmista teorioista: jos monitahokkaalla on F monikulmaista tahkoa, E särmää ja V kärkeä, silloin V – E + F = 2. Esimerkiksi, jalkapallossa on 20 valkoista kuusikulmiota ja 12 mustaa viisikulmiota, jotka muodostavat pallomaisen 32 tahkon kappaleen, sekä 90 särmää ja 60 kärkeä. Ja niin 60 – 90 + 32 = 2. Tämä perustason havainto liittyy syvällisellä tavalla moniin matematiikan aloihin, ja kuitenkin se on tarpeeksi yksinkertainen, jotta se voitaisiin opettaa lastentarhan lapsille. Mutta se on kiinnostanut Eukleideksen ja Arkimedeen ja Keplerin kaltaisia geometrikoita vuosisatojen ajan, koska sen tulokset eivät riipu geometriasta. Se riippuu ainoastaan muodosta itsestään: se on topologiaa.

Euler implisiittisesti oletti hänen monitahokkaansa olevan konvekseja (kupera), mikä tarkoittaa, että kappaleen sisällä minkä tahansa kahden pisteen välinen suora tulee pysyä monitahokkaan sisällä. Piakkoin tutkijat löysivätkin poikkeuksia Eulerin kaavaan. Esimerkiksi sveitsiläinen matemaatikko Simon Lhuilier tajusi, että jos poraamme reiän monitahokkaaseen tehdäksemme siitä donitsimaisemman, sen topologia muuttuu ja silloin V – E + F = 0.

Konveksi ja epäkonveksi monitahokas, jossa sovelletaan Eulerin ja Lhuilier’n kaavoja. kuva: Samuel Velasco/Quanta Magazine
Konveksi ja epäkonveksi monitahokas, jossa sovelletaan Eulerin ja Lhuilier’n kaavoja. kuva: Samuel Velasco/Quanta Magazine

Kiinnostavaa kyllä, vaikka Euler ja Lhuilier kuvittelivat monitahokkaansa kiinteiksi, Eulerin kaava lasketaan käyttäen ainoastaan kahta nollaulotteista kärkeä, yksiulotteista särmää ja kaksiulotteista tahkoa. Joten Eulerin kaava (V – E + F) itse asiassa on johdettu kaksiulotteisesta tahokkaasta. Nykypäivänä kuvittelemme nämä muodot ontoiksi kuoriksi.

Lisäksi se mikä ainoastaan merkitsee on kappaleen topologia. Jos teemme monitahokkaan savesta, merkkaamme sen särmät terällä, ja möyhennämme sen palloksi, tahkot ja särmät kaareutuvat, mutta lukumäärä ei muutu. Joten mikä tahansa muoto, joka on topologisesti pallo, sen Eulerin luku on 2; donitsin kaltaiselle torukselle se on 0, tasaiselle levylle se on 1; ja niin edelleen. Jokaisella pinnalla on oma Eulerin lukunsa. Tämä topologinen ymmärrys Eulerin kaavasta — jossa pallot ovat kumimaisia eivätkä kiinteitä — esitettiin ensi kerran Johann Listingin tekstissä vuonna 1861. Vaikka tämä onkin nykyään suurelta osin unohdettu, Listing on myös tunnettu Möbiuksen nauhaan liittyvästä kirjoituksistaan neljä vuotta ennen August Möbiusta. Listing tunnetaan myös koko termin topologia keksijänä.

Eulerin luku V – E + F pallolle on 2, donitsille 0, kiekolle 1, ja tuplatorukselle  –2.
Eulerin luku V – E + F pallolle on 2, donitsille 0, kiekolle 1, ja tuplatorukselle  –2.

Samoihin aikoihin Bernhard Riemann tutki pintoja, jotka tulivat esiin hänen kompleksilukujen tutkimuksissaan. Hän huomasi, että yksi tapa laskea reikiä oli tarkastella miten monta kertaa kappale voitaisiin leikata ilman, että se leikataan kahteen eri palaseen. Rajatulle pinnalle, kuten vaikka pillille joka on avoin kahdesta päästä, jokainen leikkaus tulee alkaa ja päättyä reunaan. Joten Riemannin mukaan, koska pilli voidaan leikata vain kerran — päästä päähän — sillä on tarkalleen yksi reikä. Jos pinnalla ei ole rajaa, niinkuin toruksella, ensimmäinen leikkaus tulee alkaa ja päättyä samaan pisteeseen. Ontto torus voidaan leikata kahdella tavalla — yhden kerran putkesta, ja toisen kerran siitä syntyvästä sylinteristä — joten tämän määritelmän mukaan sillä on kaksi reikää.

Pilli voidaan leikata kerran ilman, että se menee palasiksi, ja ontto torus voidaan leikata kahdesti.
Pilli voidaan leikata kerran ilman, että se menee palasiksi, ja ontto torus voidaan leikata kahdesti.

Henri Poincaré oli seuraava, ja hän suuresti laajensi topologian tutkimusalaa julkaisemalla uraauurtavan 123-sivuisen artikkelinsa “Analysis Situs” vuonna 1895. Siinä ja sen viidessä jatko-osassa hän istutti useita topologisia siemeniä, jotka kasvoivat, kukkivat ja kantoivat hedelmää vuosikymmeniä sen jälkeen. Huomattava käsite tässä on homologian käsite, jonka Poincaré yleisti Riemannin korkeampien ulottuvuuksien ideoihin. Homologian avulla Poincaré tavoitteli kuvaavansa kaikkea Riemannin yksiulotteisesta ympyräreiästä pillissä kaksiulotteiseen onteloon kuten emmentaalissa, ja siitä vieläkin korkeampiin ulottuvuuksiin. Näiden reikien määrä — yksi jokaiselle ulottuvuudelle — tunnetaan sittemmin Betti-lukujen nimellä Enrico Bettin kunniaksi, Riemannin ystävän joka oli tehnyt samanlaista tutkimusta.

Moderni homologian määritelmä on varsin syvällinen, mutta se karkeasti tarkoittaa jokaisen muodon liittämistä tiettyyn matemaattiseen objektiin. Tästä objektista voimme kerätä yksinkertaisempaa informaatiota muodosta, niinkuin vaikka sen Bettin luvun tai Eulerin luvun.

Jotta saisimme käsityksen siitä mitä homologia ja Bettin luvut ovat, keskittykääme ensimmäiseen ulottuvuuteen. Aloitamme tarkastelemalla silmukoita pinnalla. Säännöt ovat yksinkertaiset: Silmukat voivat liukua pinnalla, ja jopa ylittää toisensa, mutta ne eivät saa poistua pinnalta. Joillain pinnoilla, kuten ympyrämuotoinen levy tai pallopinta, mikä tahansa silmukka voi kutistua yksittäiseksi pisteeksi. Sellaisilla pinnoilla on triviaali homologia. Mutta toisilla pinnoilla, kuten pilli tai torus, on silmukoita, jotka kiertyvät reikiensä ympäri. Näiden homologia on epätriviaali.

Torus näyttää meille miten visualisoida Bettin lukuja. Me voimme tuottaa äärettömän monia epätriviaaleja silmukoita yhdestä, ja ne voivat kiertyä monta kertaa ympäri ennen kuin ne tulevat takaisin lähtöpisteeseensä. Mutta sen sijaan että kehittelisimme kaoottisen sotkun, nämä silmukat tuottavat  elegantin matemaattisen rakenteen. Kutsutaan silmukkaa, joka menee keskusreiän läpi ja kerran putken ympäri nimellä “a.” Tämä on nyt meidän perustamme lisäsilmukoille. Koska silmukka voi mennä putken ympäri kerran, kaksi tai kuinka monta kertaa tahansa, ja kiertosuunnalla on väliä, me voime kutsua näitä silmukoita nimillä kuten a, 2a, –a, ja niin edelleen. Jokainen silmukka ei ole a:n monikerta, kuitenkin sellainen silmukka, joka kiertää keskusreiän ympäri putken kehää pitkin, nimitämme nimellä “b.” Tässä kohtaa ei ole enää muita uniikkeja tapoja kulkea pitkin pintaa: mikä tahansa silmukka toruksen pinnalla voidaan muuntaa silmukoiksi a ja b kertomalla niitä joillain kokonaisluvuilla. Se, että on olemassa joitain yksiulotteisia silmukoita, joista kaikki muut voidaan konstruoida, tarkoittaa että toruksen Bettin luku yhdessä dimensiossa on 2, joka on Riemannin leikkausten lukumäärä.

Toruksella on äärettömän monta eri silmukkaa sen pinnalla. Silmukat a, b ja c ovat kaikki erilaisia, mutta c voidaan esittää silmukoiden a ja b unionina.
Toruksella on äärettömän monta eri silmukkaa sen pinnalla. Silmukat a, b ja c ovat kaikki erilaisia, mutta c voidaan esittää silmukoiden a ja b unionina.

Jos silmukka c on ekvivalentti silmukoiden a ja b yhdistelmän kanssa, kirjoitamme c = a + b. Tämä lauseke ei ole pelkästään merkintätapa. Tämä lasku on mahdollista tehdä — silmukoiden summaaminen ja erotus. Matematiikan kielellä joukko, joka mahdollistaa summaamisen ja erotuksen, on nimeltään ryhmä. Joten esimerkiksi toruksen yksiulotteinen homologiaryhmä koostuu ilmaisuista kuten 7a + 5b, 2a – 3b ja niin edelleen.

Ryhmän homologiarakenteen löysi 1920-luvulla Emmy Noether, ryhmien ja muiden algebrallisten rakenteiden tutkimuksen pioneeri. Noetherin havainnon myötä matemaatikot osaavat nyt ottaa käyttöön algebran voiman, rakenteen ja lauseet topologian tutkimukseen. Esimerkiksi me voimme sanoa matemaattisella varmuudella, että pilli, T-paita ja housut topologisesti eroavat toisistaan, koska niiden homologiaryhmät ovat erit. Niillä on eri määrä reikiä.

Miten topologit laskevat reikiä? Bettin lukujen avulla. Nollas Betti-luku  b0 on erikoistapaus. Se yksinkertaisesti laskee objektien lukumäärän. Yksittäiselle yhtenäiselle muodolle b0 = 1. Niinkuin me juuri näimme, ensimmäinen Bettin luku b1 on ympyrämäisten reikien lukumäärä muodossa — kuten sylinterimäisen pillin reikä ja toruksen kaksi ympyrämäistä suuntaa. Ja Poincaré näytti meille miten homologian saa lasketuksi, ja näin siihen liittyvät Bettin luvut, myös korkeammissa ulottuvuuksissa: toinen Betti-luku b2 on onteloiden lukumäärä — kuten pallon, toruksen tai emmentaalijuuston sisässä olevat reiät. Yleisesti bn kertoo n-ulotteisten reikien lukumäärän.

Poincarén homologia sulkee ympyrän ja tuo meidät takaisin Euleriin. Aivan kuten Eulerin luku voidaan laskea kappaleelle särmien, kärkien ja tahkojen avulla, niin on mahdollista laskea se myös Bettin lukujen avulla: b0 – b1 + b2. Torus esimerkiksi on yhtenäinen, joten b0 = 1; sillä on b1 = 2, kuten olemme nähneet; ja koska sillä on yksi sisäinen ontelo, b2 = 1. Niinkuin Lhuilier huomasi, toruksen Eulerin luku on 1 – 2 + 1 = 0.

Vaikka matemaatikoilla onkin ollut perustason ymmärrys homologiasta jo melkein vuosisadan ajan, algebrallinen topologia jatkaa aktiivista tutkimusta aiheesta nivoen yhteen algebran ja topologian. Tutkijat ovat myös haarautuneet muihin suuntiin, kehitellen teoriaa ja algoritmeja, joita tarvitaan eri digitaalisesti esitettyjen muotojen homologian laskemiseen, rakentaen työkaluja joilla identifioida suurten datajoukkojen allaoleva muoto (jotka usein ovat korkeampiulotteisemmissa avaruuksissa), ja niin edelleen.

Toiset tutkijat ovat soveltaneet näitä teoreettisia työkaluja reaalimaailmaan. Kuvittele esimerkiksi sirpaleinen kokoelma pieniä, halpoja antureita, jotka havaitsevat jotain — liikkeen, tulipalon, kaasupäästön — jonkin kiinteän toimintasäteen sisällä. Anturit eivät tiedä sijaintiaan, mutta ne tietävät mitkä toiset anturit ovat lähellä. Vuonna 2007 Vin de Silva ja Robert Ghrist osoittivat miten käyttää homologiaa havaitsemaan reikiä anturien peittoalueessa, perustuen tähän karkeaan informaatioon. Tuoreemmassa tutkimuspaperissa Michelle Feng ja Mason Porter käyttivät uutta pysyvän homologian tekniikkaa havaitsemaan poliittisia saarekkeita — maantieteellisiä reikiä vaaliehdokkaan tukijoukoissa, jotka antavat tukensa vastaehdokkaalle — Kaliforniassa vuoden 2016 presidentinvaalien aikaan.

Niinkuin usean puhtaan matematiikan osa-alueen kanssa, joka on saanut alkunsa pelkkänä teoreettisena pohdiskeluna, topologia on osoittanut käyttökelpoisuutensa reaalimaailmassa, eikä ole pelkästään tyytynyt vastaamaan siihen miten monta reikää pillissä on.

 

Artikkelin julkaissut Quanta Magazine

 

luentomoniste suomeksi:

https://dokumen.tips/documents/metriset-avaruudet-ja-topologia-jyvskyln-parkkonemettop2018topo2018pdf.html